ENDÜSTRİ 4.0 (İNGİLİZCE, TEZSİZ)
Yüksek Lisans TYYÇ: 7. Düzey QF-EHEA: 2. Düzey EQF-LLL: 7. Düzey

Ders Tanıtım Bilgileri

Ders Kodu Ders Adı Yarıyıl Teorik Pratik Kredi AKTS
MAT3005 Diferansiyel Geometri I Güz 2 2 3 7
Bu dersin açılması ilgili bölüm tarafından yarıyıl başında belirlenir

Temel Bilgiler

Öğretim Dili: En
Dersin Türü: Departmental Elective
Dersin Seviyesi: LİSANSÜSTÜ
Dersin Veriliş Şekli: Yüz yüze
Dersin Koordinatörü: Doç. Dr. MAKSAT ASHRAYYEV
Dersi Veren(ler): Arş.Gör. DUYGU ÜÇÜNCÜ
Prof. Dr. MURAT SARI
Prof. Dr. NAFİZ ARICA
Dersin Amacı: Bu dersin amacı, öğrencilere eğri tanımı ve eğriler teorisindeki temel kavramları vererek, uzay eğrileri hakkında bilgi ve ileri açılımlar sağlamaktır. Eğrilerin karakteristik özelliklerinden, tanjant uzayı, vektör alanı, türev dönüşümü, yöne göre türev, Serret- Frenet çatısı ve eğrilikleri, oskülatör, rektifiyan ve normal düzlemler, oskülatör (çember, küre) ve özel eğriler incelenerek eğrinin geometrik özelliklerini kavratmaktır. Günlük hayatta yer alan geometrik şekillerin diferensiyel özelliklerinden bahsedilerek, öğrencilerin analitik düşünce tarzı geliştirebilmelerini sağlamaktır. Helis, involüt-evolüt, Bertrand çifti, Monge eğrisi, küresel eğriler gibi özel eğriler hakkında öğrencilerin neden-niçin ilişkilerini kurmalarını sağlamaktır. Anlatılan konuların tartışıldığı uygulamalar yaparak pratik olarak problem çözme yeteneği kazandırmaktır.

Öğrenme Çıktıları

Bu dersi başarıyla tamamlayabilen öğrenciler;
1 Afin uzay ve çatısı, Öklid uzayı ve çatısı kavramlarını tanımlayabilme ve aralarındaki farkları ifade edebilme.
2 Topolojik uzay ve manifold, Hausdorff uzayı kavramlarını tanımlayabilme.
3 Tanjant uzayı ve vektörünü tanımlayarak, yöne göre türevi alabilme.
4 Türev dönüşümünü tanımlayıp, uygulayabilme.
5 Uzayda eğrinin tanımını ifade edebilme.
6 Eğrilerin teğet, normal ve binormal vektör alanlarını hesaplayarak Frenet-Serret çatısını oluşturabilme.
7 Helis, involüt-evolüt, Bertrand ve Monge eğrilerini tanımlayabilme ve uygulayabilme.
8 Küresel eğri tanımını verebilme ve bunların karakterizasyonlarını yapabilme.

Dersin İçeriği

Lineer Cebiri gözden geçirmek (Vektör Uzayları, IR n-boyutlu sandart reel vektör uzayı. İç çarpım uzayları, ortonormal vector sistemleri. Lineer Dönüşümler, Lineer Dönüşümler ve Matrisler). Afin ve Öklid uzayları ve çatıları, Topolojik uzay, Hausdorff uzayı, Topolojik manifold, Tanjant uzayı, yöne göre türev, türev dönüşümü, eğri tanımı, eğrilerin özellikleri ve Frenet-Serret türev formülleri, oskülatör, rektifiyan ve normal düzlemler, Helis, involüt-evolüt, Bertrand eğri çifti, Monge eğrisi, küresel eğriler, n boyutlu Öklid Uzayında eğriler ve karakterizsyonları.

Haftalık Ayrıntılı Ders İçeriği

Hafta Konu Ön Hazırlık
1)
1) Vektör Uzayları, IR n-boyutlu sandart reel vektör uzayı, iç çarpım uzayları, ortonormal vector sistemleri.
2) Lineer Dönüşümler, Lineer Dönüşümler ve Matrisler.
3) Afin ve Öklid uzayları, Öklid Çatısı, Öklid koordinat fonksiyonları ve sistemi. Hatırlatmalar: Topolojik uzay; süreklilik ve homeomorfizma. Hausdorff Uzayı, Metrik uzay ve n boyutlu öklid uzayı ile ilişkisi
4) Topolojik manifold tanım ve örnekleri. Diferensiyellenebilir fonksiyonlar ve bir fonksiyonun bileşenleri (koordinat fonksiyonları). Diffeomorfizma ve örnekleri.
5) Tanjant vektör ve tanjant vektör uzayları, diferansiyellenebilir fonksiyonlar cebiri, vektör alanı fonksiyonu ve uzaylarının teorem ve uygulamaları, Yöne göre türev tanımı. Tanjant vektör ve vektör alanı uygulaması.
6) Yöne göre türev teorem ve uygulamaları; vektör alanı yönündeki türev teorem ve uygulamaları. Türev dönüşümü ve uygulamaları. Eğri tanımı.
7) Eğrinin tanjant uzayı, hız vektörü; skaler hızı; parametre dönüşümü, ilgili teoremler, sonuçlar ve örnekler; eğrinin yay uzunluğu, yay parametresi ve ilgili teoremler.
8) Eğri üzerinde vektör alanları, türevi ve ilgili teoremler. Kovaryant türev ve ilgili teoremler ve örnekler. Eğri üzerinde vektör alanı tasarımı
9) Birim hızlı eğrilerde Serret-Frenet çatısı ve türev formülleri. Eğrinin bir noktasında Frenet vektör ve düzlemleri.
10) Eğrilik ve burulmanın geometrik yorumu ve bunlarla ilgili teoremler. Değme tanımı. Eğrinin oskülatör çemberi.
11) Oskülatör küre tanımı, merkez ve yarıçapının bulunması. Birim hızlı olmayan eğrilerde Frenet çatısı ve eğriliklerin bulunması.
12) Özel eğrilerden helis (eğilim çizgisi), helise ait tanım ve teoremler. Özel eğrilerden dairesel silindir, evolüt–involüt eğrilerinin denklemleri ve özellikleri.
13) Bertrand eğri çifti tanım ve denklemi. Bir eğrinin Bertrand çiftinin elemanlarının bulunması. Monge eğrileri, küresel eğriler, tanım, teorem ve sonuçları.
14) Manifoldlar. n boyutlu Öklid uzayında eğilim çizgileri için karakterizasyonlar, Harmonik eğrilik ve ilgili teoremler.

Kaynaklar

Ders Notları: 1) O’Neill, B., Elementary Differential Geometry, Academic Press, New York, 1966. 2) Hacısalihoğlu, H. H. , Diferensiyel Geometri, MEB Yayınları, 1983. 3) Hacısalihoğlu, H. H. Yüksek Boyutlu Uzaylarda Dönüşümler ve Geometriler, İnönü Üniversitesi Yayınları, Mat.NO: 1 ,1980
Diğer Kaynaklar: 1) Hacısalihoğlu, H. H. , Diferensiyel Geometri, MEB Yayınları, 1983. 2) Hacısalihoğlu, H. H. Yüksek Boyutlu Uzaylarda Dönüşümler ve Geometriler, İnönü Üniversitesi Yayınları, Mat.NO: 1 ,1980

Değerlendirme Sistemi

Yarıyıl İçi Çalışmaları Aktivite Sayısı Katkı Payı
Devam 14 % 0
Laboratuar % 0
Uygulama % 0
Arazi Çalışması % 0
Derse Özgü Staj % 0
Küçük Sınavlar 2 % 5
Ödev 2 % 5
Sunum % 0
Projeler % 0
Seminer % 0
Ara Sınavlar 2 % 50
Ara Juri % 0
Final 1 % 40
Rapor Teslimi % 0
Juri % 0
Bütünleme % 0
Toplam % 100
YARIYIL İÇİ ÇALIŞMALARININ BAŞARI NOTU KATKISI % 60
YARIYIL SONU ÇALIŞMALARININ BAŞARI NOTUNA KATKISI % 40
Toplam % 100

AKTS / İş Yükü Tablosu

Aktiviteler Aktivite Sayısı Süre (Saat) İş Yükü
Ders Saati 14 3 42
Laboratuvar 0 0 0
Uygulama 0 0 0
Derse Özgü Staj 0 0 0
Arazi Çalışması 0 0 0
Sınıf Dışı Ders Çalışması 14 4 56
Sunum / Seminer 0 0 0
Proje 0 0 0
Ödevler 2 5 10
Küçük Sınavlar 2 5 10
Ara Juri 0 0 0
Ara Sınavlar 2 2 4
Rapor Teslimi 0 0 0
Juri 0 0 0
Final 2 21 42
Toplam İş Yükü 164

Program ve Öğrenme Kazanımları İlişkisi

Etkisi Yok 1 En Düşük 2 Düşük 3 Orta 4 Yüksek 5 En Yüksek
           
Dersin Program Kazanımlarına Etkisi Katkı Payı