Öğretim Dili: |
En |
Dersin Türü: |
Departmental Elective |
Dersin Seviyesi: |
LİSANSÜSTÜ
|
Dersin Veriliş Şekli: |
Yüz yüze
|
Dersin Koordinatörü: |
Doç. Dr. MAKSAT ASHRAYYEV |
Dersi Veren(ler): |
Arş.Gör. DUYGU ÜÇÜNCÜ
Prof. Dr. MURAT SARI
Prof. Dr. NAFİZ ARICA
|
Dersin Amacı: |
Bu dersin amacı, öğrencilere eğri tanımı ve eğriler teorisindeki temel kavramları vererek, uzay eğrileri hakkında bilgi ve ileri açılımlar sağlamaktır. Eğrilerin karakteristik özelliklerinden, tanjant uzayı, vektör alanı, türev dönüşümü, yöne göre türev, Serret- Frenet çatısı ve eğrilikleri, oskülatör, rektifiyan ve normal düzlemler, oskülatör (çember, küre) ve özel eğriler incelenerek eğrinin geometrik özelliklerini kavratmaktır. Günlük hayatta yer alan geometrik şekillerin diferensiyel özelliklerinden bahsedilerek, öğrencilerin analitik düşünce tarzı geliştirebilmelerini sağlamaktır. Helis, involüt-evolüt, Bertrand çifti, Monge eğrisi, küresel eğriler gibi özel eğriler hakkında öğrencilerin neden-niçin ilişkilerini kurmalarını sağlamaktır. Anlatılan konuların tartışıldığı uygulamalar yaparak pratik olarak problem çözme yeteneği kazandırmaktır. |
Lineer Cebiri gözden geçirmek (Vektör Uzayları, IR n-boyutlu sandart reel vektör uzayı. İç çarpım uzayları, ortonormal vector sistemleri. Lineer Dönüşümler, Lineer Dönüşümler ve Matrisler). Afin ve Öklid uzayları ve çatıları, Topolojik uzay, Hausdorff uzayı, Topolojik manifold, Tanjant uzayı, yöne göre türev, türev dönüşümü, eğri tanımı, eğrilerin özellikleri ve Frenet-Serret türev formülleri, oskülatör, rektifiyan ve normal düzlemler, Helis, involüt-evolüt, Bertrand eğri çifti, Monge eğrisi, küresel eğriler, n boyutlu Öklid Uzayında eğriler ve karakterizsyonları. |
|
Hafta |
Konu |
Ön Hazırlık |
1) |
|
|
1) |
Vektör Uzayları, IR n-boyutlu sandart reel vektör uzayı, iç çarpım uzayları, ortonormal vector sistemleri. |
|
2) |
Lineer Dönüşümler, Lineer Dönüşümler ve Matrisler. |
|
3) |
Afin ve Öklid uzayları, Öklid Çatısı, Öklid koordinat fonksiyonları ve sistemi. Hatırlatmalar: Topolojik uzay; süreklilik ve homeomorfizma. Hausdorff Uzayı, Metrik uzay ve n boyutlu öklid uzayı ile ilişkisi |
|
4) |
Topolojik manifold tanım ve örnekleri. Diferensiyellenebilir fonksiyonlar ve bir fonksiyonun bileşenleri (koordinat fonksiyonları). Diffeomorfizma ve örnekleri. |
|
5) |
Tanjant vektör ve tanjant vektör uzayları, diferansiyellenebilir fonksiyonlar cebiri, vektör alanı fonksiyonu ve uzaylarının teorem ve uygulamaları, Yöne göre türev tanımı. Tanjant vektör ve vektör alanı uygulaması. |
|
6) |
Yöne göre türev teorem ve uygulamaları; vektör alanı yönündeki türev teorem ve uygulamaları. Türev dönüşümü ve uygulamaları. Eğri tanımı. |
|
7) |
Eğrinin tanjant uzayı, hız vektörü; skaler hızı; parametre dönüşümü, ilgili teoremler, sonuçlar ve örnekler; eğrinin yay uzunluğu, yay parametresi ve ilgili teoremler. |
|
8) |
Eğri üzerinde vektör alanları, türevi ve ilgili teoremler. Kovaryant türev ve ilgili teoremler ve örnekler. Eğri üzerinde vektör alanı tasarımı |
|
9) |
Birim hızlı eğrilerde Serret-Frenet çatısı ve türev formülleri. Eğrinin bir noktasında Frenet vektör ve düzlemleri. |
|
10) |
Eğrilik ve burulmanın geometrik yorumu ve bunlarla ilgili teoremler. Değme tanımı. Eğrinin oskülatör çemberi. |
|
11) |
Oskülatör küre tanımı, merkez ve yarıçapının bulunması. Birim hızlı olmayan eğrilerde Frenet çatısı ve eğriliklerin bulunması. |
|
12) |
Özel eğrilerden helis (eğilim çizgisi), helise ait tanım ve teoremler. Özel eğrilerden dairesel silindir, evolüt–involüt eğrilerinin denklemleri ve özellikleri. |
|
13) |
Bertrand eğri çifti tanım ve denklemi. Bir eğrinin Bertrand çiftinin elemanlarının bulunması. Monge eğrileri, küresel eğriler, tanım, teorem ve sonuçları. |
|
14) |
Manifoldlar. n boyutlu Öklid uzayında eğilim çizgileri için karakterizasyonlar, Harmonik eğrilik ve ilgili teoremler. |
|
Ders Notları: |
1) O’Neill, B., Elementary Differential Geometry, Academic Press, New York, 1966. 2) Hacısalihoğlu, H. H. , Diferensiyel Geometri, MEB Yayınları, 1983. 3) Hacısalihoğlu, H. H. Yüksek Boyutlu Uzaylarda Dönüşümler ve Geometriler, İnönü Üniversitesi Yayınları, Mat.NO: 1 ,1980 |
Diğer Kaynaklar: |
1) Hacısalihoğlu, H. H. , Diferensiyel Geometri, MEB Yayınları, 1983.
2) Hacısalihoğlu, H. H. Yüksek Boyutlu Uzaylarda Dönüşümler ve Geometriler, İnönü Üniversitesi Yayınları, Mat.NO: 1 ,1980 |